یک روش عملیاتی موجک برای حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی کسری

حساب کسری، در سالهای اخیر زمینه مطالعات بسیاری از ریاضیدانان قرار گرفته است. مشتق و انتگرال مرتبه کسری کاربردهای فراوانی در فیزیک و مکانیک، از جمله فیزیک پلاسما، مکانیک کوانتومی و دینامیک آشفتگی پیدا کرده اند. همچنین معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی که شامل عملگرهای کسری باشند، کاربردهای زیادی در علوم مهندسی دارند. با این حال روشهای تحلیلی که برای حل این معادلات وجود دارند اغلب پیچیده و دشوار هستند. الگوریتم های محدودی نیز برای حل عددی این معادلات پیشنهاد شده اند. پدلوبنی از روش تبدیل لاپلاس، با استفاده از فرمول ریمان- لیوویل برای حل معادلات دیفرانسیل با مرتبه کسری و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی مرتبه کسری که ضرایب ثابتی دارند، استفاده نموده است. مرشرت و تادجران به کمک روش تفاضلات متناهی راه حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری ارایه نموده اند. جوماریه نیز به کمک سریهای تیلور کسری و تعریف ریمان- لیوویل نتایجی را به دست آورد. بیومرا از عملگر ترتیبی برای حل معادلاتی که مشتقات آنها مرتبه کسری دارند، استفاده نموده است. با این حال روشهای فوق اغلب تقریبی از دو تعریف مشتقات جزیی گرونوالد - لتنیکوف و ریمان - لیوویل هستند. این روشها پیچیده اند و برای حل معادلات باید زمان زیادی صرف شود. امروزه مطالعات زیادی برای گسترش روشهای جبری انجام می پذیرد که معادلات با مشتقات مرتبه کسری را مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهد، تا الگوریتم های مناسبی برای حل آنها ارایه گردد. بیشتر این تلاشها بر پایه چندجمله ایها و توابع متعامد بنا شده اند. این روشهای عملیاتی براساس توابع والش، توابع بلوک پالس، چندجمله ایهای لاگر، چندجمله ایهای لژاندر، چندجمله ایهای چبیشف، سری تیلور، سری فوریه، و موجک هار انجام شده است. موجک ها در ادامه تحقیقات فوریه مربوط به سیگنالها که به طور همزمان قادر به نگهداری اطلاعات مربوط به زمان و فرکانس نبودند وارد عرصه علم شدند. موجک ها دارای انواع متعددی از جمله هار، لژاندر، چبیشف، هرمیت و ... هستند. موجک هار اولین وساده ترین آنها است. مشخصه اصلی روشهای عملیاتی، ایجاد ماتریس عملیاتی برای تبدیل معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری به یک معادله جبری یا معادلاتی از نوع لیاپانوف است. برای ساختن این ماتریس های عملیاتی از ماتریس عملیاتی توابع بلوک پالس استفاده می گردد. این پایان نامه در 7 فصل تنظیم شده است. در فصل 1 به بیان تعاریف و قضایای مورد نیاز پرداخته می شود. در فصل 2 مطالبی در مورد توابع گاما ؛ بلوک پالس و تبدیل لاپلاس بیان می شود. در فصل 3 به حساب کسری و در فصول 4 و 5 به سری فوریه و موجک پرداخته می شود. در فصل 6 ماتریس های عملیاتی بیان می شوند. فصل 7 نیز مثالهایی از حل عددی معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری به کمک ماتریس عملیاتی موجک هار را در بر می گیرد.